Чи клас PSPACE не дорівнює класу EXPSPACE?
Питання про те, чи клас PSPACE не дорівнює класу EXPSPACE, є фундаментальною та невирішеною проблемою в теорії складності обчислень. Щоб забезпечити повне розуміння, важливо розглянути визначення, властивості та наслідки цих класів складності, а також ширший контекст космічної складності.
Визначення та основні властивості
PSPACE: Клас PSPACE складається з усіх проблем прийняття рішення, які можуть бути розв’язані машиною Тьюрінга з використанням поліноміального простору. Формально мова L знаходиться в PSPACE, якщо існує машина Тьюринга M і поліноміальна функція p(n), така що для кожного вхідного параметра x машина M вирішує, чи є x у L, використовуючи щонайбільше p(|x|) простору. PSPACE охоплює широкий спектр проблем, включаючи ті, які можна розв’язати за поліноміальний час (P), і ті, які є повними для PSPACE, наприклад, проблема кількісної булевої формули (QBF).
EXPSPACE: Клас EXPSPACE включає всі проблеми прийняття рішення, які можуть бути розв’язані машиною Тьюрінга, використовуючи експоненціальний обсяг простору. Зокрема, мова L знаходиться в EXPSPACE, якщо існує машина Тьюрінга M і експоненціальна функція f(n), така що для кожного входу x машина M вирішує, чи є x в L, використовуючи не більше 2^f(|x|) простір. EXPSPACE є більшим класом, ніж PSPACE, оскільки він дозволяє експоненціально збільшити простір, уможливлюючи вирішення ширшого кола проблем.
Зв'язок між PSPACE і EXPSPACE
Щоб зрозуміти взаємозв’язок між PSPACE і EXPSPACE, важливо розпізнати ієрархію класів складності простору. За визначенням, PSPACE міститься в EXPSPACE, тому що будь-яка проблема, яку можна вирішити за допомогою поліноміального простору, також може бути розв’язана за допомогою експоненціального простору. Формально PSPACE ⊆ EXPSPACE. Однак зворотне не обов’язково вірно; широко поширена думка, що EXPSPACE містить проблеми, які неможливо вирішити за допомогою поліноміального простору, що означає, що PSPACE ≠ EXPSPACE.
Приклади та наслідки
Розглянемо проблему QBF, яка є PSPACE-повною. Ця проблема передбачає визначення істинності кількісної булевої формули, і її можна вирішити за допомогою поліноміального простору. Оскільки QBF є PSPACE-повним, будь-яка проблема в PSPACE може бути зведена до QBF за поліноміальний час. З іншого боку, прикладом проблеми в EXPSPACE, але не обов’язково в PSPACE, є проблема досяжності для змінних машин Тьюрінга з експоненціальними межами простору. Ця проблема вимагає експоненціального відстеження багатьох конфігурацій, що неможливо з поліноміальним простором.
Теорема просторової ієрархії
Теорема просторової ієрархії забезпечує формальну основу для переконання, що PSPACE суворо міститься в EXPSPACE. Ця теорема стверджує, що для будь-якої просторово-конструктивної функції f(n) існує мова, яка може бути визначена в просторі f(n), але не в просторі o(f(n)). Застосовуючи цю теорему з f(n) = 2^n, ми отримуємо, що існують проблеми, розв’язні в експоненціальному просторі, які неможливо розв’язати в будь-якому субекспоненціальному просторі, включаючи поліноміальний простір. Таким чином, теорема просторової ієрархії передбачає, що PSPACE суворо міститься в EXPSPACE, тобто PSPACE ⊂ EXPSPACE.
Невирішена природа PSPACE ≠ EXPSPACE
Незважаючи на вагомі докази, надані Теоремою просторової ієрархії, питання про те, чи PSPACE не дорівнює EXPSPACE, залишається невирішеним. Це пояснюється тим, що доведення суворої нерівності PSPACE ≠ EXPSPACE вимагало б продемонструвати існування конкретної проблеми в EXPSPACE, яку неможливо вирішити в PSPACE, що не було зроблено на сьогоднішній день. Складність полягає в невід'ємних проблемах доказу поділу між класами складності, загальної теми в теорії обчислювальної складності.
Більш широкий контекст і відповідні класи складності
Відносини між PSPACE і EXPSPACE можуть бути контекстуалізовані в рамках більш широкого ландшафту класів складності. Наприклад, клас P (проблеми, розв’язувані за поліноміальний час) є підмножиною PSPACE, і широко поширена думка, що P ≠ PSPACE. Подібним чином клас NP (недетермінований поліноміальний час) також міститься в PSPACE, а відома проблема P проти NP є центральним відкритим питанням у цій галузі. Взаємозв’язки між цими класами підсумовуються таким чином:
– P ⊆ NP ⊆ PSPACE ⊆ EXPSPACE
На додаток до цих класів існують інші важливі класи складності простору, такі як L (логарифмічний простір) і NL (недетермінований логарифмічний простір), які є підмножинами PSPACE. Відносини між цими класами додатково ілюструють ієрархію обчислювальної складності на основі вимог до простору.
Питання про те, чи PSPACE не дорівнює EXPSPACE, є фундаментальною та невирішеною проблемою в теорії складності обчислень. Хоча теорема просторової ієрархії надає переконливі докази того, що PSPACE суворо міститься в EXPSPACE, формальний доказ суворої нерівності PSPACE ≠ EXPSPACE залишається невловимим. Дослідження цього питання проливає світло на ширший ландшафт класів складності та притаманні проблеми доказу розмежування між ними.
Інші останні запитання та відповіді щодо складність:
- Чи є клас складності P підмножиною класу PSPACE?
- Чи можемо ми довести, що класи Np і P однакові, знайшовши ефективне поліноміальне рішення для будь-якої повної проблеми NP на детермінованому TM?
- Чи може клас NP дорівнювати класу EXPTIME?
- Чи існують у PSPACE проблеми, для яких невідомий алгоритм NP?
- Чи може проблема SAT бути повною проблемою NP?
- Чи може проблема бути в класі складності NP, якщо існує недетермінована машина Тьюринга, яка розв’яже її за поліноміальний час
- NP — це клас мов, які мають поліноміальні верифікатори часу
- Чи дійсно P і NP є однаковим класом складності?
- Чи кожна контекстно-вільна мова відноситься до класу складності P?
- Чи існує протиріччя між визначенням NP як класу задач вирішення з верифікаторами поліноміального часу та тим фактом, що задачі в класі P також мають верифікатори поліноміального часу?
Більше запитань і відповідей див. у розділі Складність