Чи існують у PSPACE проблеми, для яких невідомий алгоритм NP?
У сфері теорії обчислювальної складності, особливо при дослідженні класів просторової складності, зв’язок між PSPACE і NP становить значний інтерес. Щоб відповісти на запитання безпосередньо: так, у PSPACE є проблеми, для яких не існує відомого алгоритму NP. Це твердження ґрунтується на визначеннях і зв’язках між цими класами складності.
PSPACE — це клас проблем прийняття рішень, які можна розв’язати машиною Тьюрінга з використанням поліноміального простору. Іншими словами, проблема знаходиться в PSPACE, якщо існує алгоритм, який може вирішити її, використовуючи обсяг пам’яті, поліноміальний за розміром вхідних даних. Цей клас охоплює широкий спектр проблем, деякі з яких досить складні та включають складні обчислювальні процеси.
З іншого боку, NP — це клас проблем прийняття рішень, для яких запропоноване рішення може бути перевірено за поліноміальний час детермінованою машиною Тьюринга. Це означає, що якщо хтось надасть вам варіант вирішення проблеми в NP, ви зможете швидко перевірити правильність цього рішення, зокрема за поліноміальний час відносно розміру вхідних даних.
Відношення між цими двома класами таке, що NP є підмножиною PSPACE. Це пояснюється тим, що будь-яка проблема, яку можна перевірити за поліноміальний час, також може бути розв’язана в поліноміальному просторі. Щоб зрозуміти чому, подумайте, що верифікатор поліноміального часу може зчитувати лише поліноміальну кількість бітів вхідних даних і запропонованого рішення. Таким чином, його можна моделювати за допомогою поліноміально-космічної машини, яка відстежує позиції, які вона прочитала, і операції, які вона виконала.
Однак зворотне невідомо як вірне; тобто невідомо, чи є PSPACE підмножиною NP. Насправді поширена думка, що PSPACE містить проблеми, яких немає в NP, хоча це офіційно не доведено. Це переконання ґрунтується на існуванні проблем у PSPACE, вирішення яких, здається, потребує більше часу, ніж поліноміальний, навіть якщо їх можна розв’язати за допомогою поліноміального простору.
Одним із канонічних прикладів проблеми в PSPACE, про яку не відомо, що вона існує в NP, є проблема кількісної булевої формули (QBF). QBF є узагальненням булевої проблеми виконуваності (SAT), яка є NP-повною. У той час як SAT запитує, чи існує присвоєння істинних значень змінним, яке робить задану булеву формулу істинною, QBF включає вкладені квантори над змінними, наприклад «для всіх x існує ay, що формула є істинною». Наявність цих кванторів робить QBF значно складнішим. QBF є PSPACE-повним, тобто це так само складно, як будь-яка проблема в PSPACE. Якби існував алгоритм NP для QBF, це означало б, що NP дорівнює PSPACE, результат, який був би новаторським і широко вважається малоймовірним.
Іншим показовим прикладом є проблема визначення переможця в узагальнених іграх, таких як узагальнені версії шахів або го, які грають на дошці N x N. Ці проблеми включають потенційно експоненціальну кількість ходів і конфігурацій, але їх можна вирішити, використовуючи поліноміальний простір шляхом систематичного дослідження всіх можливих станів гри. Ці проблеми також є PSPACE-повними, що додатково свідчить про існування проблем у PSPACE, яких немає в NP.
Щоб глибше зрозуміти, чому певні проблеми в PSPACE вважаються поза NP, розглянемо природу обчислень, обмежених у просторі, проти обмежених у часі. Поліноміальний простір допускає потенційно експоненціальну кількість обчислювальних кроків, доки використовуваний простір залишається поліноміально обмеженим. Це різко контрастує з NP, де час поліноміально обмежений. Експоненціальний час, дозволений поліноміальним простором, може бути використаний для вирішення проблем, які включають вичерпний пошук у експоненціально великих просторах, таких як ті, що зустрічаються в QBF та узагальнених іграх.
Крім того, існують складні теоретичні побудови, які додатково підтверджують різницю між PSPACE і NP. Наприклад, концепція альтернації, введена Чандрою, Козеном і Стокмайером, узагальнює недетермінізм і призводить до класу AP (альтернуючий поліноміальний час). Було показано, що AP дорівнює PSPACE, таким чином забезпечуючи інший погляд на потужність обчислень поліноміального простору. Чергування включає в себе послідовність екзистенціальних і універсальних кванторів, що відображає структуру QBF, і демонструє складність, властиву проблемам PSPACE.
Варто також зазначити, що розділення класів складності є фундаментальним відкритим питанням у теоретичній інформатиці. Відома проблема P проти NP є окремим випадком цього ширшого дослідження. Подібним чином залишається невирішеним питання про те, чи дорівнює NP PSPACE. Однак, консенсус у цій галузі, заснований на обширних дослідженнях і характері відомих проблем, полягає в тому, що PSPACE, ймовірно, містить проблеми, яких немає в NP.
Існування проблем у PSPACE, для яких не існує відомого алгоритму NP, підтверджується визначеннями та зв’язками між цими класами складності, а також конкретними прикладами, такими як QBF та узагальнені ігрові проблеми. Ці приклади висвітлюють складні та потенційно експоненціальні обчислювальні процеси, якими можна керувати в поліноміальному просторі, але навряд чи вони будуть обмежені поліноміальним часом, таким чином виводячи їх за межі сфери NP.
Інші останні запитання та відповіді щодо складність:
- Чи клас PSPACE не дорівнює класу EXPSPACE?
- Чи є клас складності P підмножиною класу PSPACE?
- Чи можемо ми довести, що класи Np і P однакові, знайшовши ефективне поліноміальне рішення для будь-якої повної проблеми NP на детермінованому TM?
- Чи може клас NP дорівнювати класу EXPTIME?
- Чи може проблема SAT бути повною проблемою NP?
- Чи може проблема бути в класі складності NP, якщо існує недетермінована машина Тьюринга, яка розв’яже її за поліноміальний час
- NP — це клас мов, які мають поліноміальні верифікатори часу
- Чи дійсно P і NP є однаковим класом складності?
- Чи кожна контекстно-вільна мова відноситься до класу складності P?
- Чи існує протиріччя між визначенням NP як класу задач вирішення з верифікаторами поліноміального часу та тим фактом, що задачі в класі P також мають верифікатори поліноміального часу?
Більше запитань і відповідей див. у розділі Складність