Опишіть процес побудови поліноміального верифікатора часу з поліноміальної недетермінованої машини Тьюринга.
Поліноміальний верифікатор часу можна побудувати з поліноміальної недетермінованої машини Тьюринга (NTM) шляхом дотримання систематичного процесу. Щоб зрозуміти цей процес, важливо мати чітке розуміння концепцій теорії складності, зокрема класів P і NP, а також поняття поліноміальної верифікованості.
У теорії складності обчислень P відноситься до класу проблем прийняття рішення, які можуть бути розв’язані детермінованою машиною Тьюринга за поліноміальний час. З іншого боку, NP відноситься до класу проблем прийняття рішення, для яких рішення може бути перевірено за поліноміальний час за допомогою детермінованої машини Тьюринга. Ключова відмінність між цими двома класами полягає в тому, що P представляє проблеми, які можна ефективно вирішити, тоді як NP представляє проблеми, які можна ефективно перевірити.
Верифікатор поліноміального часу — це детермінована машина Тьюрінга, яка може перевірити правильність розв’язку проблеми NP за поліноміальний час. Процес побудови такого верифікатора з поліноміального часу NTM включає наступні кроки:
1. Дано проблему NP, скажімо, проблему X, ми припускаємо існування поліноміального часу NTM M, який може вирішити X. Цей NTM M має кілька гілок обчислення, кожна з яких представляє різний можливий шлях виконання.
2. Ми створюємо поліноміальний верифікатор часу V для задачі X шляхом моделювання поведінки NTM M. Верифікатор V отримує два входи: рішення проблеми X і сертифікат. Сертифікат є підтвердженням правильності рішення.
3. Верифікатор V спочатку перевіряє, чи має сертифікат дійсний формат. Цей крок можна виконати за поліноміальний час, оскільки верифікатор знає очікувану структуру сертифіката.
4. Далі верифікатор V моделює поведінку NTM M на заданому рішенні та сертифікаті. Він виконує всі можливі гілки обчислення M, перевіряючи, чи приймає якась гілка вхідні дані. Це моделювання можна виконати за поліноміальний час, оскільки NTM M працює за поліноміальний час.
5. Якщо верифікатор V знаходить принаймні одну прийнятну гілку обчислення, він приймає вхідні дані. Це означає, що рішення перевірено як правильне для проблеми X. В іншому випадку, якщо жодна з гілок не приймає, верифікатор відхиляє вхідні дані.
Ключова ідея побудови верифікатора поліноміального часу полягає в тому, що NTM M може вгадати правильний сертифікат за поліноміальний час. Моделюючи поведінку M і перевіряючи всі можливі гілки, верифікатор V може ефективно перевірити правильність рішення.
Розглянемо приклад, щоб проілюструвати цей процес. Розглянемо проблему визначення того, чи має даний граф гамільтонів цикл, яка є NP-повною проблемою. Ми припускаємо існування поліноміального часу NTM M, який може вирішити цю задачу.
Щоб побудувати поліноміальний верифікатор часу V для цієї проблеми, ми моделюємо поведінку M на заданому графіку та сертифікаті. Верифікатор перевіряє, чи сертифікат представляє дійсний гамільтонів цикл, перевіряючи, що він відвідує кожну вершину точно один раз і формує цикл.
Вичерпно моделюючи всі можливі гілки обчислення M, верифікатор може ефективно визначити, чи має заданий графік гамільтонів цикл. Якщо принаймні одна гілка M приймає вхідні дані, верифікатор приймає вхідні дані як дійсний гамільтонів цикл. В іншому випадку він відхиляє введення.
Побудова верифікатора поліноміального часу з NTM поліноміального часу передбачає моделювання поведінки NTM і перевірку всіх можливих гілок обчислень. Цей процес дозволяє ефективно перевіряти рішення проблем NP. Побудувавши такі верифікатори, ми можемо класифікувати проблеми на основі їх верифікованості за поліноміальний час.
Інші останні запитання та відповіді щодо складність:
- Чи клас PSPACE не дорівнює класу EXPSPACE?
- Чи є клас складності P підмножиною класу PSPACE?
- Чи можемо ми довести, що класи Np і P однакові, знайшовши ефективне поліноміальне рішення для будь-якої повної проблеми NP на детермінованому TM?
- Чи може клас NP дорівнювати класу EXPTIME?
- Чи існують у PSPACE проблеми, для яких невідомий алгоритм NP?
- Чи може проблема SAT бути повною проблемою NP?
- Чи може проблема бути в класі складності NP, якщо існує недетермінована машина Тьюринга, яка розв’яже її за поліноміальний час
- NP — це клас мов, які мають поліноміальні верифікатори часу
- Чи дійсно P і NP є однаковим класом складності?
- Чи кожна контекстно-вільна мова відноситься до класу складності P?
Більше запитань і відповідей див. у розділі Складність