Чи може проблема бути в класі складності NP, якщо існує недетермінована машина Тьюринга, яка розв’яже її за поліноміальний час
Питання "Чи може проблема бути в класі складності NP, якщо існує недетермінована машина Тьюринга, яка розв'яже її за поліноміальний час?" торкається фундаментальних понять теорії обчислювальної складності. Щоб всебічно вирішити це питання, ми повинні розглянути визначення та характеристики класу складності NP і роль недетермінованих машин Тьюринга (NDTM).
Визначення НП
Клас NP (недетермінований поліноміальний час) складається із задач прийняття рішення, для яких задане рішення може бути перевірено як правильне чи неправильне за поліноміальний час за допомогою детермінованої машини Тюрінга (DTM). Формально, проблема прийняття рішення знаходиться в NP, якщо існує алгоритм верифікації поліноміального часу, який може перевірити правильність даного сертифіката (або свідка) для екземпляра проблеми.
Недетерміновані машини Тьюринга
Недетермінована машина Тьюринга — це теоретична модель обчислень, яка розширює можливості детермінованої машини Тьюринга. На відміну від DTM, який слідує одному обчислювальному шляху, визначеному його функцією переходу, NDTM може виконувати кілька обчислювальних шляхів одночасно. На кожному кроці NDTM може «вибирати» з набору можливих переходів, ефективно досліджуючи багато можливих обчислень паралельно.
Поліноміальна розв’язність за допомогою NDTM
Кажуть, що проблему можна розв’язати за допомогою NDTM за поліноміальний час, якщо існує недетермінований алгоритм, який може знайти розв’язок проблеми за декілька кроків, поліноміальних за розміром вхідних даних. Це означає, що для будь-якого екземпляра проблеми NDTM може дослідити обчислювальний шлях, який веде до рішення за поліноміальний час.
Зв'язок між NP і NDTM
Клас NP можна еквівалентно визначити в термінах NDTM. Зокрема, проблема прийняття рішення знаходиться в NP тоді і тільки тоді, коли існує NDTM, який може вирішити проблему за поліноміальний час. Ця еквівалентність виникає через той факт, що NDTM може вгадати сертифікат недетерміновано, а потім перевірити його детерміновано за поліноміальний час.
Щоб проілюструвати це на прикладі, розглянемо добре відому NP-повну проблему, булеву проблему виконуваності (SAT). Для булевої формули в кон’юнктивній нормальній формі (CNF) завдання полягає в тому, щоб визначити, чи існує присвоєння істинних значень змінним, яке робить формулу істинною. NDTM може вирішити SAT за поліноміальний час шляхом недетермінованого вгадування призначення істинних значень, а потім детермінованої перевірки, чи задовольняє призначення формулі. Етап перевірки, який передбачає обчислення формули за вгаданим призначенням, можна виконати за поліноміальний час.
Наслідки поліноміальної розв’язності за допомогою NDTM
Враховуючи наведені вище визначення та еквівалентність між NP і розв’язністю за поліноміальний час за допомогою NDTM, ми можемо зробити висновок, що якщо існує NDTM, який розв’язує проблему за поліноміальний час, то проблема справді є в NP. Це пояснюється тим, що існування такого NDTM означає, що для проблеми існує поліноміальний алгоритм перевірки. Фаза недетермінованого вгадування NDTM відповідає генерації сертифіката, а фаза детермінованої перевірки відповідає алгоритму перевірки за поліноміальним часом.
Подальші міркування та приклади
Щоб глибше прояснити цю концепцію, давайте розглянемо додаткові приклади проблем у NP та їхній зв’язок із NDTM:
1. Проблема Гамільтонового шляху: Дано граф, проблема Гамільтонового шляху запитує, чи існує шлях, який відвідує кожну вершину рівно один раз. NDTM може вирішити цю проблему за поліноміальний час шляхом недетермінованого вгадування послідовності вершин, а потім перевірки, чи ця послідовність утворює дійсний гамільтонів шлях. Етап перевірки передбачає перевірку суміжності послідовних вершин і забезпечення того, що кожна вершина відвідана точно один раз, обидва з яких можна зробити за поліноміальний час.
2. Проблема суми підмножини: задано набір цілих чисел і цільову суму, проблема «Сума підмножини» запитує, чи існує підмножина цілих чисел, яка підсумовує ціль. NDTM може вирішити цю проблему за поліноміальний час шляхом недетермінованого вгадування підмножини цілих чисел, а потім перевірки, чи сума підмножини дорівнює меті. Етап перевірки включає підсумовування елементів вгаданої підмножини, що можна зробити за поліноміальний час.
3. Задача на розфарбовування графіка: Дано граф і кількість кольорів, проблема розфарбовування графа запитує, чи можливо розфарбувати вершини графа так, щоб жодні дві сусідні вершини не мали однакового кольору. NDTM може вирішити цю проблему за поліноміальний час, недетерміновано призначаючи кольори вершинам, а потім перевіряючи, чи дійсне забарвлення. Етап перевірки включає перевірку кольорів суміжних вершин, що можна зробити за поліноміальний час.
Висновок
У світлі наведених визначень і прикладів стає зрозуміло, що проблема справді може належати до класу складності NP, якщо існує недетермінована машина Тьюринга, яка розв’яже її за поліноміальний час. Цей зв’язок є наріжним каменем теорії обчислювальної складності та підкреслює еквівалентність між поліноміальною розв’язністю за допомогою NDTM і приналежністю до класу NP.
Інші останні запитання та відповіді щодо складність:
- Чи клас PSPACE не дорівнює класу EXPSPACE?
- Чи є клас складності P підмножиною класу PSPACE?
- Чи можемо ми довести, що класи Np і P однакові, знайшовши ефективне поліноміальне рішення для будь-якої повної проблеми NP на детермінованому TM?
- Чи може клас NP дорівнювати класу EXPTIME?
- Чи існують у PSPACE проблеми, для яких невідомий алгоритм NP?
- Чи може проблема SAT бути повною проблемою NP?
- NP — це клас мов, які мають поліноміальні верифікатори часу
- Чи дійсно P і NP є однаковим класом складності?
- Чи кожна контекстно-вільна мова відноситься до класу складності P?
- Чи існує протиріччя між визначенням NP як класу задач вирішення з верифікаторами поліноміального часу та тим фактом, що задачі в класі P також мають верифікатори поліноміального часу?
Більше запитань і відповідей див. у розділі Складність